Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez la valeur brute que vous souhaitez situer dans son contexte.
- Entrez la moyenne de la distribution d'origine.
- Entrez l'écart type. Échantillon ou population, du moment qu'il correspond à la moyenne utilisée.
- Lisez le score z : positif au-dessus de la moyenne, négatif en dessous.
- Utilisez le centile pour connaître la part de la distribution située sous la valeur, et la valeur p pour évaluer sa rareté.
Méthode de calcul
La standardisation soustrait la moyenne et divise par l'écart type, ramenant n'importe quelle distribution normale à la loi normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart type 1. C'est ce qui rend un QI de 130 et une taille de 190 cm directement comparables : tous deux deviennent de simples nombres d'écarts types, dépouillés de leurs unités d'origine.
Le centile provient de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, qui n'a pas de forme close et est évaluée ici à l'aide de l'approximation rationnelle Abramowitz et Stegun 7.1.26, précise à mieux que 7,5 × 10⁻⁸. Cela est bien plus strict que toute incertitude d'échantillonnage réelle, de sorte que le centile affiché est limité par vos données d'entrée, et non par le calcul.
Deux erreurs surviennent fréquemment. Premièrement, le centile n'a de sens que si la distribution sous-jacente est réellement proche d'une loi normale ; un z de 2 sur une variable fortement asymétrique ne correspond pas au 97,7e centile. Deuxièmement, lorsque l'écart type est estimé à partir d'un petit échantillon, la distribution de Student a des queues plus épaisses que la loi normale et la valeur p sera ici optimiste ; en dessous d'environ n = 30, utilisez plutôt un test de Student.
Formule et références
z = (x − μ) / σ ; centile = Φ(z) ; p bilatéral = 2 × (1 − Φ(|z|))
Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions (1964), formule 7.1.26 ; NIST/SEMATECH e-Handbook, section 1.3.6.6.1.
Exemple de calcul
Un test de QI est étalonné sur une moyenne de 100 et un écart type de 15. À quel point un score de 130 est-il inhabituel ?
- z = (130 − 100) ÷ 15 = 2,0.
- Φ(2,0) = 0,97725, le score se situe donc au 97,7e centile.
- Zone supérieure = 1 − 0,97725 = 2,275 %.
- p bilatéral = 2 × 0,02275 = 0,0455.
Un z de 2,0 place le score au-dessus de 97,7 % de la population ; environ 1 personne sur 44 obtient un résultat au moins aussi élevé.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qui est considéré comme un score z élevé ?
Au-delà de ±2, on couvre environ 4,6 % d'une distribution normale, ce qui est classiquement considéré comme 'inhabituel' ; au-delà de ±3, cela couvre 0,27 % et est véritablement rare.
Un score z peut-il être négatif ?
Oui, et cela signifie simplement que la valeur est inférieure à la moyenne. C'est l'amplitude, et non le signe, qui indique à quel point elle est inhabituelle.
Les données doivent-elles suivre une distribution normale ?
Le score z lui-même est défini pour n'importe quelle distribution, mais le centile et la valeur p supposent la normalité. Pour des données asymétriques, ils peuvent être fortement erronés.
Quand dois-je utiliser la loi de Student au lieu de z ?
Lorsque l'écart type est estimé à partir d'un petit échantillon, généralement inférieur à 30 observations. La loi de Student prend en compte cette incertitude supplémentaire.