Comment utiliser cette calculatrice
- Saisissez la moyenne et l'écart-type de votre distribution.
- Saisissez les bornes inférieure et supérieure de la plage qui vous intéresse.
- Lisez P(a < X < b) pour obtenir la probabilité de se situer dans cet intervalle.
- Utilisez les lignes des extrémités (queues) pour les questions unilatérales telles que « quelle proportion dépasse ce seuil ».
- Consultez l'intervalle central à 95 % pour avoir un aperçu rapide de l'endroit où se concentre la quasi-totalité de la distribution.
Méthode de calcul
La loi normale est définie par seulement deux paramètres, la moyenne et l'écart-type, et tout le reste en découle. Elle apparaît partout en raison du théorème central limite : les sommes et les moyennes de nombreuses contributions indépendantes tendent vers la normalité, quelle que soit la forme des contributions individuelles. C'est pourquoi les erreurs de mesure, la demande agrégée et les moyennes d'échantillons sont si souvent proches de la normale, et pourquoi les revenus individuels et les tailles de fichiers ne le sont pas.
Les probabilités proviennent de l'aire sous la courbe de densité, qui ne possède pas de primitive élémentaire. Chaque borne est standardisée en un score z et évaluée à l'aide d'une approximation rationnelle de haute précision de Φ, puis soustraite pour obtenir la probabilité de l'intervalle. Les centiles effectuent le processus inverse par inversion numérique, car il n'existe pas non plus de fonction quantile explicite.
La règle empirique découle directement de ces aires : environ 68 % à moins d'un écart-type, 95,4 % à moins de deux et 99,7 % à moins de trois. Le multiplicateur de 1,96 utilisé pour les intervalles à 95 % est la valeur exacte dont le chiffre rond « 2 » est une approximation. Au-delà de trois écarts-types, les queues légères du modèle normal deviennent peu fiables pour les données réelles, ce qui explique précisément l'échec marqué des modèles financiers et d'assurance reposant sur l'hypothèse de normalité.
Formule et références
f(x) = (1/(σ√(2π)))·e^(−(x − μ)²/(2σ²)) ; P(a < X < b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
de Moivre (1733) ; Gauss, Theoria Motus (1809) ; Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions (1964), formule 7.1.26.
Exemple de calcul
Les scores suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15. Quelle proportion se situe entre 90 et 120 ?
- z pour 90 = (90 − 100) ÷ 15 = −0,6667 ; Φ = 0,2525.
- z pour 120 = (120 − 100) ÷ 15 = 1,3333 ; Φ = 0,9088.
- P(90 < X < 120) = 0,9088 − 0,2525 = 0,6563.
- Intervalle central à 95 % = 100 ± 1,96 × 15 = 70,6 à 129,4.
Environ 65,6 % des scores se situent entre 90 et 120, et 95 % de l'ensemble de la distribution se trouve approximativement entre 71 et 129.
Questions fréquentes
Comment savoir si mes données suivent une loi normale ?
Tracez d'abord un histogramme et un diagramme Q-Q. Les tests formels tels que celui de Shapiro–Wilk rejettent presque tous les grands ensembles de données réelles, c'est pourquoi l'analyse visuelle de la forme compte davantage que la valeur p.
Qu'est-ce que la règle empirique ?
Environ 68 %, 95 % et 99,7 % d'une distribution normale se situent respectivement à moins d'un, deux et trois écarts-types de la moyenne.
Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte est-elle égale à zéro ?
Pour une distribution continue, la probabilité correspond à une surface, et un point isolé n'a aucune largeur. Seuls les intervalles ont une probabilité non nulle.
La loi normale centrée réduite est-elle une distribution différente ?
Il s'agit de la même famille, avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Toute variable normale devient normale centrée réduite une fois convertie en score z.