Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez vos données séparées par des virgules, des espaces ou des sauts de ligne.
- Choisissez 'Échantillon' si les nombres forment un sous-ensemble issu d'un groupe plus large, ce qui est le cas le plus fréquent.
- Choisissez 'Population' uniquement lorsque la liste représente l'intégralité absolue des membres du groupe étudié.
- Consultez la variance, puis l'écart type, qui correspond à sa racine carrée et partage la même unité que vos données.
- Utilisez le coefficient de variation pour comparer la dispersion entre des séries de données exprimées dans des unités différentes.
Méthode de calcul
La variance est la moyenne des écarts à la moyenne élevés au carré. L'élévation au carré a deux objectifs : elle empêche les écarts positifs et négatifs de s'annuler, et elle pénalise les grands écarts beaucoup plus lourdement que les petits. En contrepartie, la variance s'exprime dans des unités au carré. Des dollars au carré, des secondes au carré, raison pour laquelle l'écart type est presque toujours la valeur finale rapportée.
Le dénominateur n − 1, connu sous le nom de correction de Bessel, s'explique par le fait que la moyenne d'un échantillon est plus proche des données de l'échantillon que ne l'est la véritable moyenne de la population. Les écarts mesurés par rapport à la moyenne de l'échantillon sont donc systématiquement trop faibles, et diviser par n − 1 au lieu de n compense exactement ce biais. Cette correction est fondamentale pour n = 5, où elle augmente l'estimation de 25 %, et devient presque négligeable pour n = 500.
Le coefficient de variation, écart type divisé par la moyenne, rend la dispersion sans dimension et comparable. Un écart type de 3 est considérable pour un processus centré sur 10 et dérisoire pour un processus centré sur 10 000. Notez qu'il perd son sens lorsque la moyenne est proche de zéro ou lorsque les données peuvent être négatives, car le dénominateur s'effondre.
Formule et références
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) pour un échantillon ; σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N pour une population ; s = √s²
Fisher, 'On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics', Phil. Trans. R. Soc. A (1922) ; NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6.
Exemple de calcul
Sept nombres de commandes quotidiennes : 12, 15, 11, 18, 14, 16, 13. Calculez la variance de l'échantillon.
- Moyenne = 99 ÷ 7 = 14,1429.
- Écarts au carré : 4,59, 0,73, 9,88, 14,88, 0,02, 3,45, 1,31.
- Somme des carrés = 34,857.
- Diviser par n − 1 = 6 : variance = 5,8095.
- Écart type = √5,8095 = 2,4103 commandes.
Variance de l'échantillon 5,81, écart type 2,41 commandes. Utiliser à la place le diviseur de la population donnerait 4,98, soit une sous-estimation de 14 % de la dispersion.
Questions fréquentes
Échantillon ou population. Comment choisir ?
Demandez-vous si vous pourriez, en principe, recueillir davantage de données du même type. Si oui, il s'agit d'un échantillon et vous devez utiliser n − 1. Seul un recensement véritablement exhaustif utilise n.
Pourquoi élever les écarts au carré plutôt que de prendre les valeurs absolues ?
Les écarts au carré sont dérivables, se décomposent de manière additive entre sources indépendantes et sont directement reliés à la distribution normale. L'écart absolu moyen est une alternative valable mais ne possède pas ces propriétés.
La variance peut-elle être négative ?
Jamais. C'est une somme de carrés divisée par un nombre positif, son minimum est donc zéro, atteint uniquement lorsque toutes les valeurs sont identiques.
Quel est le lien entre la variance et l'écart type ?
L'écart type est la racine carrée de la variance. La variance s'additionne simplement entre variables indépendantes ; l'écart type est celui qui s'exprime dans les unités d'origine.