Comment utiliser cette calculatrice
- Choisissez 'Moyenne' pour des grandeurs mesurées, ou 'Proportion' pour un nombre de succès sur un total.
- Entrez les statistiques de l'échantillon : moyenne et écart type, ou nombre de succès et taille de l'échantillon.
- Entrez la taille de l'échantillon, c'est ce qui réduit la largeur de l'intervalle.
- Choisissez le niveau de confiance ; 95 % est la valeur par défaut quasi universelle.
- Indiquez l'intervalle, et pas seulement l'estimation ponctuelle, chaque fois que vous citez les résultats d'un sondage ou d'une expérience.
Méthode de calcul
Un intervalle de confiance exprime la précision d'une estimation. C'est la procédure, et non l'intervalle individuel, qui porte la garantie : si vous répétiez l'échantillonnage de nombreuses fois et construisiez un intervalle à 95 % à chaque fois, environ 95 % de ces intervalles contiendraient le paramètre réel. Un intervalle donné le contient ou ne le contient pas, c'est pourquoi affirmer qu'il 'y a 95 % de chances que la vraie valeur se trouve dans cette plage' est une déclaration bayésienne que cet intervalle fréquentiste ne formule pas.
La largeur correspond à la marge d'erreur, z × erreur type, et l'erreur type diminue avec la racine carrée de n. Cette racine carrée régit toute l'économie des sondages : quadrupler l'échantillon réduit la marge de moitié. Elle explique aussi pourquoi les sondages nationaux de 1 000 personnes affichent une marge proche de ±3 points, que le pays compte 5 millions ou 300 millions d'habitants. La taille de la population n'intervient guère, sauf si l'échantillon en représente une fraction importante.
Pour les proportions, l'erreur type est √(p(1 − p)/n), qui atteint son maximum à p = 0,5 et diminue à mesure que la proportion se rapproche de l'un ou l'autre extrême. L'approximation normale utilisée ici nécessite environ dix succès et dix échecs pour être fiable ; pour les événements très rares, les intervalles exacts de Clopper-Pearson s'imposent, car celui-ci sera trop étroit et pourra même dépasser 0 % ou 100 %.
Formule et références
Moyenne : x̄ ± z × s/√n. Proportion : p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂)/n). z = 1,645, 1,960, 2,326, 2,576 pour 90 %, 95 %, 98 %, 99 %.
Neyman, 'Outline of a Theory of Statistical Estimation', Phil. Trans. R. Soc. A 236 (1937) ; NIST/SEMATECH e-Handbook, section 1.3.5.2.
Exemple de calcul
Un sondage auprès de 1 000 électeurs révèle que 480 soutiennent une mesure. Quel est l'intervalle de confiance à 95 % ?
- p̂ = 480 ÷ 1000 = 0,480.
- Erreur type = √(0,48 × 0,52 ÷ 1000) = 0,0158.
- Marge d'erreur = 1,96 × 0,0158 = 0,0310, soit 3,1 points de pourcentage.
- Intervalle = 48,0 % ± 3,1 % = 44,9 % à 51,1 %.
Le soutien est de 48 % avec un intervalle à 95 % de 44,9 % à 51,1 %. Comme l'intervalle englobe 50 %, le sondage ne permet pas d'affirmer que la mesure est minoritaire.
Questions fréquentes
Pourquoi 95 % est-il la valeur par défaut ?
Par convention, remontant à la suggestion de Fisher selon laquelle deux écarts types constituent un seuil pratique. Rien sur le plan mathématique ne le distingue de 94 % ou 96 %.
Un intervalle plus large signifie-t-il des données de moindre qualité ?
Il traduit une précision moindre, due à un petit échantillon, une forte variabilité ou un niveau de confiance plus élevé. Un niveau de confiance supérieur se paie toujours par une plus grande largeur.
Comment réduire ma marge d'erreur de moitié ?
Quadruplez la taille de l'échantillon. La marge évolue en 1/√n, il n'existe pas de solution plus économique.
Quand dois-je plutôt utiliser un intervalle de Student ?
Pour les moyennes issues d'échantillons de moins d'environ 30 observations lorsque l'écart type de la population est inconnu. Le multiplicateur t est plus grand et l'intervalle est proportionnellement plus large.