Comment utiliser cette calculatrice
- Écrivez les deux équations sous la forme standard ax + by = c.
- Entrez a₁, b₁ et c₁ de la première équation, en conservant chaque signe.
- Entrez a₂, b₂ et c₂ de la seconde équation.
- Vérifiez d'abord le déterminant : une valeur non nulle signifie qu'il existe un unique point d'intersection.
- Lisez x et y, puis remplacez les deux valeurs dans les équations initiales pour confirmer.
Méthode de calcul
Deux équations linéaires à deux inconnues représentent deux droites. Résoudre le système revient à trouver leur point d'intersection. La règle de Cramer exprime cette intersection au moyen de déterminants : le déterminant principal D = a₁b₂ − a₂b₁ mesure l'indépendance des deux équations, et les numérateurs remplacent la colonne des constantes dans la matrice des coefficients. Cette méthode équivaut rigoureusement à l'élimination ou à la substitution, mais sous forme d'une expression explicite unique, ce qui la rend idéale pour un calculateur.
Le déterminant traduit la géométrie du problème. Lorsque D est non nul, les droites ont des pentes différentes et se coupent en un point unique. Lorsque D est nul, elles sont parallèles : soit elles ne se coupent jamais (système incompatible, aucune solution), soit elles représentent la même droite (système dépendant, une infinité de solutions). Un déterminant proche de zéro sans être nul signale un système quasi dégénéré, où le point d'intersection existe réellement mais s'avère extrêmement sensible aux légères variations des coefficients, un véritable signal d'alerte en ingénierie et en analyse de régression, et non une simple curiosité.
Au-delà des manuels scolaires, les systèmes 2×2 apparaissent dès que deux contraintes s'appliquent à deux quantités : mélanger deux solutions pour atteindre une concentration cible, répartir un investissement entre deux taux pour obtenir un rendement visé, ou trouver le seuil de rentabilité où une droite de coût croise une droite de revenu. Poser correctement le problème, décider de ce que représentent x et y et écrire une équation rigoureuse par contrainte, est plus difficile que l'algèbre elle-même.
Formule et références
D = a₁b₂ − a₂b₁ ; x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D ; y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D
Règle de Cramer, publiée par Gabriel Cramer dans Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (1750) ; classique des manuels d'algèbre linéaire.
Exemple de calcul
Les billets coûtent 8 $ pour les adultes et 5 $ pour les enfants. 200 billets ont été vendus pour 1 330 $. Combien de billets de chaque catégorie ont été vendus ?
- Contrainte 1 (nombre) : 1x + 1y = 200, donc a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 200.
- Contrainte 2 (argent) : 8x + 5y = 1330, donc a₂ = 8, b₂ = 5, c₂ = 1330.
- Déterminant : D = 1×5 − 8×1 = −3.
- x = (200×5 − 1330×1) / −3 = (1000 − 1330) / −3 = 110.
- y = (1×1330 − 8×200) / −3 = (1330 − 1600) / −3 = 90.
110 billets adultes et 90 billets enfants, vérification : 110 + 90 = 200 et 8×110 + 5×90 = 1 330.
Questions fréquentes
Que signifie un déterminant nul dans la pratique ?
Les deux équations véhiculent la même information directionnelle. Soit elles se contredisent, auquel cas aucune solution ne satisfait les deux, soit l'une est un multiple de l'autre, auquel cas chaque point de cette unique droite convient.
Puis-je résoudre trois équations à trois inconnues ici ?
Pas avec cette calculatrice, elle est conçue pour le 2×2. Pour les systèmes 3×3, utilisez la calculatrice matricielle, qui gère les déterminants et l'inversion à cette dimension.
La règle de Cramer est-elle meilleure que l'élimination ?
Pour le 2×2, elle est plus rapide et plus facile à automatiser. Pour les grands systèmes, elle devient numériquement impraticable, et les logiciels numériques utilisent plutôt l'élimination de Gauss ou la décomposition LU.
Pourquoi ma réponse s'écarte-t-elle légèrement d'un nombre rond ?
La division en virgule flottante tombe rarement exactement sur des entiers. Un résultat de 109.99999999 correspond à 110 ; arrondissez à la précision réelle de votre problème.