Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez le coefficient de x³ pour a. Définissez-le à zéro pour résoudre plutôt une équation quadratique.
- Entrez b, c et d pour les termes en x², x et la constante, en incluant les signes.
- Lisez la liste des racines réelles, ce sont les valeurs de x où la courbe coupe l'axe zéro.
- Comparez le compte avec le degré : une cubique a une ou trois racines réelles, une quadratique en a zéro ou deux.
- Réinjectez une racine dans le polynôme ; le résultat devrait être virtuellement nul.
Méthode de calcul
Plutôt que d'appliquer la formule fermée de la cubique, numériquement fragile et délicate en présence de racines multiples, cette calculatrice emploie une méthode numérique robuste en deux étapes. Elle évalue d'abord le polynôme sur l'intervalle de −100 à 100 par petits pas, en guettant un changement de signe entre deux échantillons consécutifs. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, une fonction continue qui change de signe a nécessairement traversé zéro entre ces deux points.
Chaque intervalle détecté est ensuite resserré par dichotomie : divisez l'intervalle par deux à plusieurs reprises et conservez la moitié qui présente toujours un changement de signe. Quatre-vingts divisions réduisent l'encadrement bien en dessous de la précision double, de sorte que la racine obtenue est exacte jusqu'aux limites de l'arithmétique. La dichotomie est plus lente que la méthode de Newton, mais elle ne peut pas diverger, ce qui compte davantage pour un outil généraliste que la vitesse brute.
Le seul angle mort de la méthode est une racine qui touche l'axe sans le traverser, c'est-à-dire une racine multiple comme (x − 2)², où la courbe descend jusqu'à zéro puis remonte sans changer de signe. Ces racines peuvent être manquées. Un minimum tangentiel situé exactement sur l'axe en est la signature pratique ; si le nombre de racines est inférieur au degré et que vous soupçonnez une racine double, factorisez par une racine connue et résolvez à nouveau le polynôme réduit.
Formule et références
Encadrement où f(xᵢ)·f(xᵢ₊₁) < 0, puis dichotomie : xₘ = (lo + hi)/2, en conservant la moitié qui garde le changement de signe
Théorème des valeurs intermédiaires de Bolzano avec affinement par dichotomie ; voir Burden & Faires, Numerical Analysis, Chapitre 2.1.
Exemple de calcul
Trouvez où la courbe de profit P(x) = x³ − 3x² − 4x passe par zéro, avec x en milliers d'unités.
- Entrez a = 1, b = −3, c = −4, d = 0.
- L'analyse trouve des changements de signe près de −1, 0 et 4.
- La dichotomie affine chacun à −1.000000, 0.000000 et 4.000000.
- Vérifiez la plus grande valeur : 4³ − 3(16) − 16 = 64 − 48 − 16 = 0.
Racines à x = −1, 0 et 4. Seule x = 4 a un sens pour le volume, le seuil de rentabilité est donc de 4 000 unités.
Questions fréquentes
Pourquoi les racines complexes ne sont-elles pas affichées ?
L'analyse détecte les passages par l'axe, et les racines complexes ne correspondent à aucun passage à détecter. Une équation quadratique avec un discriminant négatif, ou une cubique n'affichant qu'une seule racine réelle, possède ses racines restantes sous la forme d'une paire complexe conjuguée.
Que faire si mes racines sont en dehors de ±100 ?
Mettez d'abord la variable à l'échelle. Remplacer x par 1000u ramène les grandes racines dans la plage ; divisez ensuite les valeurs u obtenues.
Peut-il traiter les degrés quatre et supérieurs ?
Pas directement. Les équations de degré quatre ou supérieur nécessitent une méthode basée sur les valeurs propres de la matrice compagnon, ce qui dépasse le cadre de cet outil.
Quelle est la précision des racines ?
Virtuellement exacte jusqu'à la double précision, soit environ 15 chiffres significatifs, pour les racines simples bien distinctes. Les racines très rapprochées ou multiples perdent en précision.