Comment utiliser cette calculatrice
- Définissez les dimensions de chaque matrice.
- Saisissez les valeurs ligne par ligne.
- Sélectionnez l'opération souhaitée.
- Vérifiez la règle de compatibilité des dimensions : le nombre de colonnes de la première doit correspondre au nombre de lignes de la seconde pour la multiplication.
Méthode de calcul
L'addition et la soustraction exigent des dimensions identiques et s'effectuent terme à terme. La multiplication impose que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde : une matrice m×n multipliée par une n×p donne une m×p, où chaque terme est le produit scalaire d'une ligne et d'une colonne. La multiplication matricielle est associative mais non commutative. AB et BA représentent généralement des matrices distinctes et peuvent ne pas être toutes deux définies.
Le déterminant est un scalaire unique qui mesure comment la transformation met à l'échelle les aires ou les volumes. Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière : elle réduit l'espace à une dimension inférieure, n'a pas d'inverse, et le système correspondant n'a soit aucune solution, soit une infinité. Lorsque le déterminant est non nul, l'inverse existe, et A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A), ce qui permet de résoudre un système linéaire Ax = b sous la forme x = A⁻¹b.
Formule et références
(AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ ; A⁻¹ = adj(A)/det(A), det(A) ≠ 0
Définitions standard de l'algèbre linéaire pour le produit matriciel, le déterminant et l'inverse d'une matrice.
Exemple de calcul
Trouver le déterminant et l'inverse de [[4, 7], [2, 6]].
- det = (4)(6) − (7)(2) = 24 − 14 = 10.
- Non nul, donc l'inverse existe.
- Comatrice transposée (adjugée) = [[6, −7], [−2, 4]].
- A⁻¹ = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
Déterminant 10 ; inverse [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]], qui multiplié par A donne la matrice identité.
Questions fréquentes
Pourquoi ne puis-je pas multiplier ces matrices ?
Le nombre de colonnes de la première doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Une matrice 2×3 peut être multipliée par une 3×4, mais pas par une 2×4.
Que signifie un déterminant nul ?
La matrice est singulière : les lignes sont linéairement dépendantes, il n'y a pas d'inverse et le système ne possède pas de solution unique.
Est-ce que AB est identique à BA ?
Presque jamais. La multiplication matricielle n'est pas commutative, et souvent un seul des deux produits est défini.
À quoi sert la transposée ?
Elle permute les lignes et les colonnes ; on la retrouve partout en statistiques, en infographie et dans l'ajustement par les moindres carrés.