Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez l'indice de départ, la valeur inscrite sous le sigma.
- Entrez l'indice de fin inscrit au-dessus du sigma.
- Entrez le coefficient multipliant chaque terme ; utilisez 1 s'il n'y en a pas.
- Entrez la puissance à laquelle l'indice est élevé ; utilisez 1 pour une somme linéaire simple.
- Consultez le total, le nombre de termes et la valeur moyenne d'un terme.
Méthode de calcul
La notation sigma est une écriture abrégée pour une addition répétée : le symbole comporte un indice de début en dessous, un indice de fin au-dessus et une expression à évaluer pour chaque indice. Ce calculateur prend en charge la forme polynomiale courante, coefficient × i^p, et l'évalue par itération directe plutôt que par une formule fermée. La sommation directe est exacte pour les entiers et gère les puissances fractionnaires qu'aucune formule simple ne couvre.
Des formes fermées existent pour les cas classiques et valent la peine d'être connues comme vérification de cohérence. La somme des n premiers entiers est n(n+1)/2, la somme des carrés est n(n+1)(2n+1)/6, et la somme des cubes est le carré de la somme des entiers. Chacune d'entre elles doit correspondre exactement au total itéré pour un n raisonnable ; un désaccord indique une mauvaise interprétation de l'intervalle d'indices.
Faites attention au nombre de termes. Une somme de 1 à 100 contient 100 termes, mais une somme de 0 à 100 en contient 101. Il s'agit de l'erreur d'un élément près qui corrompt discrètement les calculs fondés sur des boucles, des modèles de tableurs jusqu'au code de production. Le calculateur indique explicitement le décompte afin que vous puissiez le vérifier par rapport à votre intention. Les très grands intervalles sont limités pour préserver la réactivité du navigateur ; pour ceux-ci, utilisez plutôt la formule fermée.
Formule et références
Σ (de i = a à b) k·i^p, évaluée terme à terme ; pour p = 1, k = 1, cela équivaut à n(n+1)/2 avec n = b lorsque a = 1
Formules classiques de sommation ; voir Graham, Knuth & Patashnik, Concrete Mathematics, Chapitre 2.
Exemple de calcul
Un tableau d'amortissement utilise la méthode de la somme des chiffres des années sur une durée d'utilisation de 8 ans. Quel est le dénominateur ?
- Le dénominateur est la somme des numéros d'années de 1 à 8.
- Entrez de = 1, à = 8, coefficient = 1, puissance = 1.
- Somme directe : 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36.
- Vérification avec la formule fermée : 8 × 9 / 2 = 36.
36, donc la première année prend 8/36 de la base amortissable, la deuxième année 7/36, et ainsi de suite jusqu'à 1/36 pour la huitième année.
Questions fréquentes
L'intervalle peut-il aller en sens inverse ?
Non. Si le début est supérieur à la fin, la somme est vide et vaut zéro, ce qui correspond à la convention standard.
Qu'en est-il d'une puissance égale à zéro ?
Chaque terme devient le coefficient lui-même, donc le total est simplement le coefficient multiplié par le nombre de termes.
Puis-je sommer autre chose qu'une puissance de i ?
Pas avec cet outil. Les sommes de factorielles, de logarithmes ou de termes trigonométriques nécessitent un évaluateur d'expressions générales.
Pourquoi limiter le nombre de termes ?
Des millions d'itérations bloqueraient l'onglet du navigateur. Au-delà de la limite, une formule fermée est à la fois plus rapide et exacte.