Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez un nombre entier non négatif.
- Consultez le nombre de chiffres pour vous faire une idée immédiate de l'ordre de grandeur.
- Faites défiler la valeur exacte pour n jusqu'à 500.
- Utilisez l'estimation de l'ordre de grandeur pour les valeurs de n plus élevées.
Méthode de calcul
n! est le produit de tous les entiers de 1 à n, et représente le nombre de façons d'ordonner n éléments distincts. Cette signification combinatoire explique sa présence omniprésente en probabilités : permutations, combinaisons, coefficients binomiaux et lois de Poisson contiennent tous des factorielles.
La croissance est plus rapide qu'exponentielle. 10! vaut 3.6 millions, 20! vaut 2.4 × 10¹⁸, et 170! est la plus grande factorielle qu'un nombre à virgule flottante en double précision puisse stocker. 171! dépasse la limite et renvoie l'infini. Cette calculatrice contourne ce plafond grâce à des entiers de précision arbitraire, de sorte que les chiffres affichés sont exacts et non arrondis.
Le décompte des chiffres s'obtient en additionnant les logarithmes en base 10, ce qui est bien moins coûteux en calcul que d'évaluer le nombre lui-même et constitue la méthode classique pour estimer l'ordre de grandeur d'une factorielle. La formule de Stirling, n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, fournit la même estimation de façon analytique et représente l'outil de référence en analyse asymptotique.
Par convention, 0! = 1, puisqu'il existe exactement une manière d'ordonner un ensemble vide, une définition qui préserve la validité des formules de combinaisons et de permutations à leurs limites.
Formule et références
n! = n × (n−1) × … × 1 ; 0! = 1 ; formule de Stirling : n! ≈ √(2πn) (n/e)ⁿ
Définition combinatoire standard de la factorielle ; formule de Stirling.
Exemple de calcul
Combien d'ordres différents peut-on obtenir en mélangeant un jeu de 52 cartes ?
- Entrez 52.
- 52! comporte 68 chiffres.
- Valeur ≈ 8.07 × 10⁶⁷.
Plus de permutations possibles que d'atomes dans la galaxie observable. Tout paquet correctement mélangé est presque assurément unique dans l'histoire.
Questions fréquentes
Pourquoi 0! est-il égal à 1 ?
Il n'existe qu'une seule façon d'ordonner un ensemble vide, et cette convention préserve la cohérence des formules de combinaisons.
Puis-je calculer la factorielle d'un nombre décimal ?
Pas directement. La fonction gamma étend la factorielle aux nombres non entiers, avec Γ(n+1) = n!.
Pourquoi d'autres calculatrices échouent-elles au-delà de 170 ?
171! dépasse la valeur maximale représentable en double précision. L'arithmétique de grands entiers permet de contourner cette limite.
Où les factorielles apparaissent-elles en pratique ?
Dans les permutations et combinaisons, les séries de Taylor, la loi de Poisson et la plupart des problèmes de dénombrement en probabilités.