Comment utiliser cette calculatrice
- Choisissez la fonction que vous souhaitez intégrer.
- Entrez la borne inférieure a et la borne supérieure b.
- Définissez le nombre d'intervalles ; 1 000 est largement suffisant pour des fonctions régulières.
- Consultez le résultat de Simpson comme réponse principale.
- Comparez les deux méthodes : un écart minime signifie que la réponse a convergé.
Méthode de calcul
Une intégrale définie est l'aire algébrique située entre une courbe et l'axe horizontal sur un intervalle. L'intégration numérique approxime cette aire en découpant l'intervalle en bandes et en sommant des formes géométriques simples. La méthode des trapèzes relie les points consécutifs par des segments de droite, chaque bande étant un trapèze ; son erreur décroît avec le carré de la largeur de bande.
La méthode de Simpson ajuste une parabole à travers chaque triplet de points consécutifs au lieu d'une ligne droite, ce qui prend en compte la courbure et réduit l'erreur à la puissance quatre de la largeur de bande. Diviser la largeur par deux réduit l'erreur des trapèzes d'un facteur 4, mais celle de Simpson d'un facteur 16. Nécessitant des points par paires, la méthode de Simpson exige un nombre pair d'intervalles ; le calculateur arrondit discrètement au supérieur si vous entrez un nombre impair.
Afficher les deux résultats est un choix délibéré. Lorsque deux méthodes d'ordres différents concordent à huit décimales près, la réponse a presque certainement convergé. Lorsqu'elles divergent, l'intégrande pose problème : une singularité dans l'intervalle, un pic prononcé manqué par l'échantillonnage, ou des bornes hors du domaine de définition. Intégrer 1/x en passant par zéro, ou √x sous zéro, produit des résultats aberrants d'apparence correcte dans tout schéma numérique, et l'écart entre les méthodes constitue votre signal d'alerte.
Formule et références
Simpson : ∫ ≈ (h/3)[f(a) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + f(b)] ; Trapèzes : ∫ ≈ h[f(a)/2 + f(x₁) + … + f(b)/2], h = (b−a)/n
Formules de quadrature de Newton-Cotes ; voir Burden & Faires, Numerical Analysis, Chapitre 4.4.
Exemple de calcul
Trouvez l'aire sous f(x) = x² de x = 0 à x = 2. Le cas test classique avec une valeur exacte connue de 8/3.
- Sélectionnez x², définissez a = 0, b = 2, n = 1000.
- Largeur de bande h = 2/1000 = 0,002.
- La méthode de Simpson renvoie 2,66666667.
- La méthode des trapèzes renvoie 2,66666800, soit une différence d'environ 1,3 × 10⁻⁶.
2,6666667 contre la valeur exacte 8/3 = 2,6666667. La méthode de Simpson est exacte pour les polynômes jusqu'au degré 3, la seule erreur provient donc des arrondis.
Questions fréquentes
Pourquoi la méthode de Simpson est-elle exacte pour mon polynôme ?
Elle ajuste des paraboles, elle reproduit donc exactement toute fonction quadratique, et par une annulation de symétrie, elle traite aussi exactement les polynômes cubiques. Seuls les termes de degré quatre et plus laissent une erreur résiduelle.
Que signifie un résultat négatif ?
La courbe se situe sous l'axe sur tout ou partie de l'intervalle. L'intégrale est une aire algébrique ; pour l'aire totale géométrique, intégrez la valeur absolue par morceaux.
Puis-je intégrer jusqu'à l'infini ?
Pas directement. Effectuez un changement de variable pour ramener l'intervalle infini à un intervalle fini, ou intégrez jusqu'à une borne finie suffisamment grande et confirmez que le résultat ne varie plus.
De combien d'intervalles ai-je besoin ?
Augmentez n jusqu'à ce que la valeur se stabilise au niveau de précision souhaité. Pour des fonctions régulières, quelques centaines suffisent généralement.