Comment utiliser cette calculatrice
- Choisissez arithmétique si les termes évoluent d'une valeur fixe, géométrique s'ils évoluent d'un multiple fixe.
- Entrez le premier terme a₁.
- Entrez la raison d pour une suite arithmétique, ou la raison r pour une suite géométrique.
- Entrez le rang n du terme que vous souhaitez atteindre.
- Lisez le n-ième terme et la somme de tous les termes jusqu'à celui-ci ; la somme infinie n'apparaît que lorsque |r| < 1.
Méthode de calcul
Une suite arithmétique ajoute la même valeur à chaque étape, de sorte que le n-ième terme est le premier terme plus (n − 1) fois la raison. Sa somme partielle bénéficie d'un raccourci élégant : associez le premier terme au dernier, le deuxième à l'avant-dernier, et chaque paire a le même total. Cela donne une somme égale à n/2 fois la somme du premier et du dernier terme. Une astuce attribuée au jeune Gauss pour sommer de 1 à 100.
Une suite géométrique multiplie par le même facteur à chaque étape, donc le n-ième terme est a₁ multiplié par r à la puissance (n − 1). La somme partielle découle d'un argument télescopique : soustrayez r fois la somme à la somme elle-même et tous les termes s'annulent sauf les extrémités, laissant a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Le cas particulier r = 1 doit être traité à part, car il diviserait par zéro, la somme étant alors simplement n fois a₁.
La convergence est ce qui rend les séries géométriques réellement utiles. Lorsque |r| < 1, les termes diminuent vers zéro assez rapidement pour que la somme infinie se stabilise sur une valeur finie, a₁/(1 − r). C'est le fondement mathématique de la valeur actuelle d'une rente perpétuelle, de la distance totale parcourue par une balle qui rebondit, du multiplicateur monétaire en économie et de l'espérance d'une loi géométrique. Lorsque |r| ≥ 1, la somme croît indéfiniment et le total infini n'a pas de sens.
Formule et références
Arithmétique : aₙ = a₁ + (n−1)d, Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d). Géométrique : aₙ = a₁·r^(n−1), Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), S∞ = a₁/(1 − r) pour |r| < 1
Résultats classiques sur les suites et séries ; voir OpenStax Algebra and Trigonometry, Chapitre 11.
Exemple de calcul
Un plan d'épargne démarre à 200 $ par mois et augmente de 25 $ chaque mois. Combien est déposé au 24e mois, et au total sur deux ans ?
- Suite arithmétique avec a₁ = 200, d = 25, n = 24.
- Dépôt du 24e mois : 200 + 23 × 25 = 200 + 575 = 775 $.
- Somme : 24/2 × (2 × 200 + 23 × 25) = 12 × (400 + 575) = 12 × 975.
- Total = 11 700 $, hors intérêts perçus.
775 $ le dernier mois et 11 700 $ versés au total sur les deux ans, avant intérêts.
Questions fréquentes
Comment distinguer une suite arithmétique d'une suite géométrique ?
Soustrayez les termes consécutifs : une différence constante indique une suite arithmétique. Divisez les termes consécutifs : un rapport constant indique une suite géométrique. Si ni l'un ni l'autre n'est constant, il s'agit d'un autre type de suite.
Pourquoi la somme infinie n'existe-t-elle que dans certains cas ?
Cela nécessite que les termes diminuent rapidement vers zéro. Avec |r| ≥ 1, chaque terme est aussi grand ou plus grand que le précédent, de sorte que le total cumulé ne se stabilise jamais.
La suite de Fibonacci est-elle traitée ici ?
Non. La suite de Fibonacci est définie par une récurrence sur les deux termes précédents, et non par une différence ou une raison constante, elle nécessite donc une formule différente.
La raison géométrique peut-elle être négative ?
Oui. Les termes alternent alors de signe, et la série converge toujours tant que la valeur absolue de r est strictement inférieure à 1.