Comment utiliser cette calculatrice
- Choisissez la fonction dans la liste : puissances, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou inverses.
- Entrez la valeur de x à laquelle vous souhaitez obtenir le taux de variation.
- Consultez f′(x), la pente instantanée de la courbe en ce point.
- Vérifiez f″(x) pour la concavité : positive, la courbe est tournée vers le haut ; négative, vers le bas.
- Utilisez l'équation de la droite tangente pour obtenir une approximation de la fonction au voisinage de ce x.
Méthode de calcul
La dérivée est la limite du taux d'accroissement lorsque l'intervalle tend vers zéro. Numériquement, cette limite est approchée par une différence centrale : on évalue la fonction à un très petit pas de chaque côté du point et on divise la variation par le double de ce pas. La version centrale est nettement plus précise qu'une différence unilatérale car ses termes d'erreur d'ordre un s'annulent, laissant une erreur proportionnelle à h² plutôt qu'à h.
Le choix de la taille du pas est une question d'équilibre. Trop grand, et l'erreur de troncature domine. Vous mesurez la pente d'une sécante, pas d'une tangente. Trop petit, et les erreurs d'annulation en virgule flottante prennent le dessus, car soustraire deux nombres presque égaux détruit les chiffres significatifs. Un pas d'environ 10⁻⁵ se situe près du compromis idéal pour les calculs en double précision sur des fonctions bien conditionnées, ce qu'utilise ce calculateur.
La dérivée seconde utilise le schéma standard à trois points et hérite de davantage d'erreurs, considérez-la donc comme indicative plutôt qu'exacte. C'est son signe qui importe le plus : positif signifie que la courbe est convexe (concave vers le haut) et que tout point stationnaire y est un minimum ; négatif signifie concave (vers le bas) et un maximum. Lorsque la dérivée seconde change de signe, la courbe présente un point d'inflexion. C'est l'instant où une courbe de croissance cesse d'accélérer et commence à ralentir.
Formule et références
f′(x) ≈ [f(x+h) − f(x−h)] / 2h ; f″(x) ≈ [f(x+h) − 2f(x) + f(x−h)] / h², avec h ≈ 10⁻⁵
Formules de différences centrales ; voir Burden & Faires, Numerical Analysis, Chapitre 4.1.
Exemple de calcul
Pour f(x) = x², à quelle vitesse l'aire d'un carré varie-t-elle lorsque la longueur du côté atteint 3 unités ?
- Sélectionnez x² et définissez x = 3.
- Différence centrale : [(3,00001)² − (2,99999)²] / 0,00002.
- Numérateur : 9,00006 − 8,99994 = 0,00012.
- Division : 0,00012 / 0,00002 = 6,000.
f′(3) = 6, correspondant exactement à la dérivée analytique 2x. L'aire croît à un taux de 6 unités carrées par unité de longueur de côté à cet instant précis.
Questions fréquentes
Pourquoi ne pas calculer la dérivée de manière symbolique ?
La dérivation formelle nécessite un système complet de calcul formel. Une dérivée numérique fournit la même valeur en un point pour toute fonction évaluable, y compris celles sans forme fermée simple.
Que se passe-t-il au niveau d'un point anguleux ou d'une discontinuité ?
L'estimation bilatérale fait la moyenne de deux pentes différentes et renvoie un résultat dénué de sens. La fonction valeur absolue en zéro en est l'exemple classique : aucune dérivée n'y existe.
Pourquoi mon résultat est-il de 5,999999 au lieu de 6 ?
C'est un arrondi en virgule flottante dans le quotient différentiel. Interprétez-le comme valant 6 ; l'erreur se situe au huitième chiffre significatif.
Comment trouver les maxima et les minima ?
Recherchez les valeurs de x où f′(x) s'annule, puis vérifiez le signe de f″(x) : négatif indique un maximum, positif un minimum.