Comment utiliser cette calculatrice
- Écrivez votre expression par ordre décroissant : ax² + bx + c.
- Entrez les trois coefficients, y compris les signes négatifs.
- Vérifiez le discriminant : un signe négatif signifie qu'aucune factorisation réelle n'existe.
- Lisez la forme factorisée. Les racines non entières produisent des facteurs décimaux, qui restent parfaitement corrects.
- Développez mentalement les facteurs pour vérifier qu'ils redonnent le trinôme initial.
Méthode de calcul
La factorisation et la recherche de racines sont deux manières d'aborder le même problème. Le théorème de factorisation stipule que r est une racine d'un polynôme exactement lorsque (x − r) le divise. Le moyen fiable d'obtenir une factorisation consiste donc à résoudre d'abord le second degré avec la formule quadratique, puis à écrire les facteurs à partir des racines : a(x − r₁)(x − r₂). Cela fonctionne toujours, alors que la factorisation par tâtonnement ne réussit que lorsque les racines se trouvent être des rationnels simples.
Le discriminant b² − 4ac détermine le type de factorisation possible. Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes et deux facteurs réels distincts. Un discriminant nul donne une racine double et un carré parfait, a(x − r)². Un discriminant négatif signifie que la parabole ne touche jamais l'axe, de sorte qu'il n'existe aucun facteur linéaire réel. L'expression est irréductible sur les réels, bien qu'elle se factorise sur les nombres complexes.
Un discriminant sous forme de carré parfait indique que les méthodes classiques sur les entiers aboutiront. Lorsque b² − 4ac est un carré parfait et que a se divise proprement, la méthode AC ou une simple inspection fournit immédiatement des facteurs entiers, ce qui est attendu dans la plupart des exercices scolaires. Dans le cas contraire, les facteurs décimaux affichés par cette calculatrice constituent la véritable réponse, et tout manuel exigeant des facteurs « simples » contient une coquille dans ses coefficients.
Formule et références
ax² + bx + c = a(x − r₁)(x − r₂), où r = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Théorème de factorisation et formule quadratique ; voir OpenStax College Algebra, Sections 1.5 et 2.5.
Exemple de calcul
Factorisez 2x² − 7x + 3 pour trouver où le modèle de hauteur d'un projectile s'annule.
- Entrez a = 2, b = −7, c = 3.
- Discriminant : 49 − 4(2)(3) = 49 − 24 = 25, un carré parfait, il existe donc des facteurs entiers.
- Racines : (7 ± 5)/4 = 3 et 0.5.
- Forme factorisée : 2(x − 3)(x − 0.5), ce qui se simplifie en (x − 3)(2x − 1).
(x − 3)(2x − 1). Le développement redonne 2x² − 7x + 3, confirmant la factorisation.
Questions fréquentes
Pourquoi ma forme factorisée contient-elle une fraction ?
Parce qu'une racine est fractionnaire. Multipliez ce facteur par le coefficient dominant et divisez l'autre par la même quantité : 2(x − 0.5) devient (2x − 1), ce qui correspond à la forme équivalente plus élégante.
Que signifie « irréductible sur les réels » ?
Aucun produit de deux facteurs linéaires réels ne permet de retrouver l'expression. La parabole se situe entièrement au-dessus ou en dessous de l'axe des x. Sur les nombres complexes, elle se factorise néanmoins en une paire de conjugués.
Puis-je factoriser une cubique ici ?
Pas avec cet outil. Utilisez le calculateur de racines de polynômes pour repérer une racine réelle r, divisez la cubique par (x − r), puis factorisez ici l'équation quadratique résultante.
La factorisation est-elle toujours la meilleure façon de résoudre une équation du second degré ?
Non. La factorisation est la plus rapide lorsque les racines sont des entiers simples. Sinon, la formule quadratique est plus rapide et ne fait jamais défaut.