Comment utiliser cette calculatrice
- Saisissez le nombre d'épreuves indépendantes, n.
- Saisissez le nombre de succès étudié, k.
- Indiquez la probabilité de succès pour une épreuve unique sous forme de pourcentage.
- Consultez P(X = k) pour le résultat exact, ainsi que les lignes cumulées pour les cas « au plus » et « au moins ».
- Vérifiez la moyenne, n × p, pour déterminer si votre valeur de k correspond à un résultat classique ou extrême.
Méthode de calcul
La loi binomiale compte les succès obtenus au cours d'un nombre fixe d'épreuves indépendantes ayant chacune la même probabilité de réussite. Sa fonction de masse multiplie trois éléments : le nombre de configurations produisant k succès, la probabilité de k succès et la probabilité de n − k échecs. C'est le coefficient binomial qui rend les résultats intermédiaires nettement plus probables que les extrêmes. Il y a 252 façons d'obtenir 5 piles sur 10 lancers, et une seule façon d'en obtenir 10.
Le calcul de la combinaison est réalisé ici via la fonction log-gamma plutôt que par factorielles directes. Calculer 200! directement dépasse la capacité d'un nombre flottant double précision dès 171!, tandis que l'utilisation des logarithmes maintient les calculs dans les limites et n'applique l'exponentielle qu'au résultat final. Cela permet au calculateur de conserver sa précision pour des séries de plusieurs centaines d'épreuves, là où des calculs basiques renverraient l'infini ou NaN.
Les hypothèses d'indépendance et de probabilité constante sont celles qui posent le plus souvent problème en pratique. Tirer des cartes sans remise modifie p à chaque tirage, ce qui relève de la loi hypergéométrique et non de la loi binomiale. Des données regroupées en grappes, des clients qui s'influencent mutuellement ou des pannes de machines partageant une cause commune violent l'indépendance et dispersent les résultats réels bien plus que ne le prévoit le modèle binomial.
Formule et références
P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ ; moyenne = np ; variance = np(1 − p)
Bernoulli, Ars Conjectandi (1713) ; Press et al., Numerical Recipes, 3e édition, section 6.1 pour le calcul de la fonction log-gamma.
Exemple de calcul
Un processus réussit dans 30 % des cas. Sur 10 essais, quelle est la probabilité d'obtenir exactement 4 succès ?
- C(10,4) = 210.
- 0,3⁴ = 0,0081 et 0,7⁶ = 0,117649.
- P = 210 × 0,0081 × 0,117649 = 0,2001.
- Probabilité cumulée P(X ≤ 4) = 0,8497, d'où P(X ≥ 4) = 0,3504.
Environ 20,0 % de chances d'obtenir exactement 4 succès, et 35,0 % de chances d'en obtenir 4 ou plus, pour une espérance moyenne de 3.
Questions fréquentes
Quand la loi binomiale est-elle inadaptée ?
Lorsque les épreuves ne sont pas indépendantes, que la probabilité de succès varie d'un essai à l'autre ou lors d'un échantillonnage sans remise au sein d'une population restreinte.
Quelle est la différence entre P(X = k) et P(X ≤ k) ?
La première correspond à la probabilité d'obtenir exactement cette valeur ; la seconde additionne tous les résultats de 0 jusqu'à k. Les questions portant sur « au moins k » nécessitent d'utiliser la probabilité cumulée supérieure.
Puis-je approximer la loi binomiale par une loi normale ?
Oui, lorsque np et n(1 − p) dépassent tous deux environ 5. Utilisez une moyenne de np et un écart-type de √(np(1 − p)), idéalement avec une correction de continuité.
Quel est le plus grand n pris en charge ?
Le nombre d'essais peut atteindre plusieurs centaines sans problème, car les combinaisons sont calculées dans l'espace logarithmique plutôt que sous forme de factorielles brutes.