Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez les valeurs de la variable indépendante pour X et celles de la variable dépendante pour Y, en conservant l'ordre des paires.
- Consultez l'équation ajustée sous la forme y = mx + b.
- Saisissez une valeur dans la case de prédiction pour obtenir l'estimation du modèle pour Y à ce niveau de X.
- Examinez R² pour évaluer la part de la variation expliquée par la droite.
- Utilisez l'erreur standard des résidus comme indicateur d'écart type de prédiction, exprimé dans les unités de Y.
Méthode de calcul
Les moindres carrés ordinaires déterminent la pente et l'ordonnée à l'origine qui minimisent la somme des carrés des distances verticales entre les points et la droite. Ce critère bénéficie d'une solution analytique exacte, sans nécessiter d'itérations, et constitue l'estimateur linéaire sans biais de variance minimale sous les hypothèses classiques. Il garantit également que la droite ajustée passe toujours par le point moyen, ce qui sert de vérification rapide et utile.
La pente est le paramètre clé : elle représente la variation moyenne de Y pour une augmentation d'une unité de X. L'ordonnée à l'origine est la valeur ajustée en X = 0, ce qui n'a de sens que si zéro se situe à l'intérieur ou à proximité de la plage observée. Extrapoler une droite reliant le prix d'un bien immobilier à sa surface jusqu'à zéro mètre carré produit un chiffre, mais ce chiffre ne correspond à rien de concret.
Les moindres carrés élèvent les résidus au carré, ce qui rend la méthode aussi sensible aux valeurs aberrantes que la moyenne. Une simple erreur de saisie sur une observation peut dévier visiblement la droite, de manière totalement silencieuse. Le R² peut alors à peine varier. L'erreur standard des résidus donne l'ampleur typique d'un écart et doit systématiquement accompagner toute prédiction ; une estimation ponctuelle fournie sans celle-ci suggère une précision que le modèle ne possède pas.
Formule et références
pente m = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² ; ordonnée à l'origine b = ȳ − m·x̄ ; R² = r² ; SE = √(Σ résidu² / (n − 2))
Legendre, Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (1805) ; Gauss, Theoria Motus (1809) ; Manuel électronique NIST/SEMATECH, section 4.1.4.
Exemple de calcul
Huit semaines de temps d'étude (1 à 8 heures) face aux scores d'examen : 52, 57, 64, 66, 74, 78, 83, 90.
- x̄ = 4,5, ȳ = 70,5.
- Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178,0 et Σ(x − x̄)² = 42.
- Pente = 178 ÷ 42 = 4,238 points par heure.
- Ordonnée à l'origine = 70,5 − 4,238 × 4,5 = 51,43.
- Prédiction pour x = 10 : 51,43 + 4,238 × 10 = 93,8.
y = 4,238x + 51,43 avec un R² proche de 0,99. Notez que x = 10 se situe en dehors de la plage observée de 1 à 8, cette prédiction est donc une extrapolation.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un bon R² ?
Cela dépend entièrement du domaine. Les expériences de physique dépassent couramment 0,99, tandis que les modèles en sciences sociales sont souvent informatifs dès 0,3.
Puis-je faire des prédictions en dehors de la plage de mes données ?
Mathématiquement oui, mais en toute rigueur scientifique, non. La relation linéaire n'est attestée que dans la plage observée ; au-delà, il s'agit d'une supposition et non d'une mesure.
Quelle variable placer sur l'axe X ?
Celle que vous considérez comme la cause, l'entrée ou le facteur que vous pouvez contrôler. Échanger X et Y donne une droite différente, et non l'inverse de la même droite.
Que signifie l'erreur standard des résidus ?
Elle correspond approximativement à la distance type entre une valeur observée et la droite, dans les unités de Y ; c'est une mesure concrète de la précision des prédictions.