Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez n, le nombre total d'éléments disponibles.
- Entrez r, le nombre d'éléments choisis ou ordonnés.
- Déterminez si l'ordre a de l'importance : si oui, utilisez nPr ; sinon, utilisez nCr.
- Précisez si la répétition est autorisée et lisez le résultat correspondant.
Méthode de calcul
nPr = n! ÷ (n − r)! compte les arrangements ordonnés. nCr = n! ÷ (r!(n − r)!) divise cela par les r! façons d'ordonner chaque sélection, car ces ordres correspondent à la même combinaison. Ainsi, nCr est toujours ≤ nPr, et le rapport entre les deux est exactement r!.
La répétition modifie totalement les formules. Si la répétition est permise et que l'ordre compte (les codes PIN, par exemple), le total est nʳ. Si la répétition est permise et que l'ordre ne compte pas, le dénombrement est C(n + r − 1, r), le résultat des « étoiles et barres » utilisé pour répartir des éléments identiques dans des groupes distincts. Déterminer si l'ordre compte puis si la répétition est autorisée permet de résoudre presque tous les problèmes de dénombrement.
Formule et références
nPr = n!/(n−r)! ; nCr = n!/(r!(n−r)!) ; avec répétition : nʳ ou C(n+r−1, r)
Définitions combinatoires standard des permutations, combinaisons et sélections avec répétition.
Exemple de calcul
Parmi 12 candidats, choisissez un comité de 4 personnes, puis choisissez alternativement un président, un vice-président, un secrétaire et un trésorier.
- Comité (ordre sans importance) : 12C4 = 12!/(4!·8!) = 495.
- Membres du bureau (l'ordre compte) : 12P4 = 12·11·10·9 = 11,880.
- Rapport = 11,880 / 495 = 24.
- 24 = 4!, le nombre de façons d'attribuer les fonctions au sein de quatre personnes choisies.
495 comités possibles mais 11,880 bureaux. Exactement 4! fois plus, car les rôles sont distincts.
Questions fréquentes
Comment savoir lequel utiliser ?
Demandez-vous si le fait d'échanger deux éléments choisis change le résultat. Si oui, l'ordre compte et vous devez utiliser les permutations.
Pourquoi nCr est-il plus petit que nPr ?
Parce qu'il considère tous les r! arrangements d'une même sélection comme un seul et unique résultat.
Que vaut 0! et pourquoi est-ce 1 ?
Il n'y a exactement qu'une seule façon de n'organiser aucun élément, et poser 0! = 1 permet d'assurer la cohérence des formules.
Comment fonctionnent les probabilités à la loterie ?
Elles sont égales à 1 sur nCr ; l'ordre ne compte pas sur un ticket de loterie, donc 6 numéros parmi 49 donnent 1 chance sur 13,983,816.