Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez la probabilité de chaque événement sous forme décimale ou de pourcentage.
- Indiquez si les événements sont indépendants ou mutuellement exclusifs.
- Consultez P(A et B), P(A ou B) ainsi que les complémentaires.
- Utilisez le champ conditionnel lorsque la réalisation d'un événement modifie les probabilités de l'autre.
Méthode de calcul
Pour des événements indépendants, P(A et B) = P(A) × P(B). Pour deux événements quelconques, P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B), où la soustraction évite de compter deux fois le chevauchement ; pour des événements mutuellement exclusifs, ce chevauchement est nul. La règle du complémentaire, P(non A) = 1 − P(A), est souvent la méthode la plus rapide : les problèmes de type « au moins un » sont presque toujours plus simples à résoudre via 1 moins la probabilité de « aucun ».
La probabilité conditionnelle s'écrit P(A|B) = P(A et B) ÷ P(B), et la confondre avec P(B|A) est l'erreur classique commise lors de l'interprétation des tests médicaux. Pour une pathologie rare, un test très précis produit tout de même une majorité de faux positifs, car les faux positifs issus de l'importante population saine surpassent les vrais positifs de la petite population atteinte. Le théorème de Bayes formalise cette correction.
Formule et références
P(A∩B) = P(A)P(B) si indépendants ; P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Axiomes de probabilité de Kolmogorov avec les règles standard d'addition, de multiplication et de probabilité conditionnelle.
Exemple de calcul
Une maladie touche 0.5% des personnes. Un test a une sensibilité de 98% avec un taux de faux positifs de 3%. Si vous êtes testé positif, quel est le risque d'être atteint ?
- Vrais positifs = 0.005 × 0.98 = 0.0049.
- Faux positifs = 0.995 × 0.03 = 0.02985.
- Total des positifs = 0.03475.
- P(maladie | positif) = 0.0049 / 0.03475 = 14.1%.
Seulement environ 14%. Le taux de base domine, c'est pourquoi les tests de confirmation existent.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre indépendant et mutuellement exclusif ?
Indépendant signifie que l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Mutuellement exclusif signifie qu'ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Pourquoi « au moins un » est-il plus simple via l'événement contraire ?
Parce que 1 − P(aucun) ne nécessite qu'un seul calcul, tandis qu'énumérer chaque cas « au moins un » en requiert plusieurs.
Peut-on additionner directement les probabilités ?
Uniquement pour des événements mutuellement exclusifs. Sinon, vous comptez deux fois le chevauchement.
Qu'est-ce que l'erreur du taux de base ?
Le fait d'ignorer la rareté d'une affection lors de l'interprétation d'un test positif, ce qui surestime considérablement la probabilité d'en être atteint.