Comment utiliser cette calculatrice
- Choisissez la base et la hauteur si vous pouvez mesurer une perpendiculaire abaissée sur un côté.
- Choisissez les trois côtés lorsque vous ne pouvez mesurer que les arêtes, ce qui est habituel sur le terrain.
- Saisissez les mesures dans des unités cohérentes.
- Lisez l'aire ; avec trois côtés, vous obtenez également le périmètre et le demi-périmètre.
- Si le résultat signale un triangle invalide, revérifiez vos mesures par rapport à l'inégalité triangulaire.
Méthode de calcul
La formule base-hauteur provient d'une observation simple : tout triangle correspond exactement à la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur. La hauteur doit être la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé, et non la longueur d'un côté incliné. L'utilisation d'une longueur inclinée est l'erreur la plus courante dans le calcul de l'aire d'un triangle, et elle surestime systématiquement le résultat.
La formule de Héron résout le problème pratique posé par les hauteurs perpendiculaires, difficiles à mesurer sur le terrain alors que les longueurs des côtés sont faciles d'accès. Elle calcule le demi-périmètre, puis extrait la racine carrée du produit du demi-périmètre par sa différence avec chaque côté. Les géomètres l'utilisent depuis des siècles pour décomposer des parcelles irrégulières en triangles mesurables avec un simple ruban.
La formule de Héron valide également les données d'entrée sans coût supplémentaire. Si les trois longueurs ne peuvent pas former un triangle parce qu'un côté est au moins aussi long que la somme des deux autres, le produit sous la racine carrée devient négatif. C'est l'expression algébrique de l'inégalité triangulaire, et le calculateur signale un triangle invalide au lieu de renvoyer NaN.
Formule et références
A = ½ × base × hauteur ; ou avec s = (a+b+c)/2, A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
Formule de Héron, Héron d'Alexandrie, Metrica (vers 60 apr. J.-C.) ; formule base-hauteur tirée des Éléments d'Euclide, Livre I.
Exemple de calcul
Un parterre triangulaire mesure 9 m, 12 m et 15 m le long de ses bordures.
- Demi-périmètre : (9 + 12 + 15) / 2 = 18 m.
- Différences : 18 − 9 = 9, 18 − 12 = 6, 18 − 15 = 3.
- Produit : 18 × 9 × 6 × 3 = 2 916.
- Aire : √2 916 = 54 m².
54 m², et comme les dimensions 9-12-15 correspondent à une mise à l'échelle de 3-4-5, il s'agit d'un triangle rectangle, ce que confirme le calcul ½ × 9 × 12 = 54.
Questions fréquentes
Quel côté fait office de base ?
N'importe lequel, tant que la hauteur est mesurée perpendiculairement à ce même côté. Les trois choix donnent exactement la même aire.
Pourquoi mon calcul indique-t-il que le triangle est invalide ?
La somme de deux de vos côtés est inférieure ou égale au troisième, ce qui est géométriquement impossible. Mesurez à nouveau ; il s'agit généralement d'une inversion de chiffres dans une valeur.
Puis-je calculer l'aire à partir de deux côtés et de l'angle formé entre eux ?
Oui : la moitié du produit des deux côtés multipliée par le sinus de l'angle compris. Le calculateur de la loi des cosinus fournit cette valeur.
Comment traiter une parcelle irrégulière à quatre côtés ?
Divisez-la en deux triangles le long d'une diagonale, mesurez cette diagonale et appliquez la formule de Héron à chaque moitié.