Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez le côté a et le côté b.
- Entrez l'angle C, l'angle compris entre ces deux côtés.
- Lisez le côté c, le côté opposé à l'angle saisi.
- Lisez les angles A et B, déduits du triangle complété.
- Lisez l'aire, calculée à partir des deux côtés et de l'angle compris.
Méthode de calcul
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques. Elle stipule que c² est égal à a² plus b² moins deux fois ab multiplié par le cosinus de l'angle compris. Lorsque cet angle vaut 90°, son cosinus est nul, le terme correctif disparaît et la formule se réduit au théorème de Pythagore, ce qui est la manière la plus élégante de s'en souvenir.
Le terme correctif indique également d'un coup d'œil la nature du triangle. Un angle compris aigu a un cosinus positif, de sorte que le terme est soustrait et que c s'avère plus court que la valeur pythagoricienne. Un angle obtus a un cosinus négatif, le terme est ajouté, et c est plus long. Il s'agit du cas côté-angle-côté et, contrairement à la loi des sinus, il ne produit jamais de résultat ambigu.
Une fois les trois côtés connus, la même formule réarrangée donne chaque angle, ce qui en fait également la méthode standard pour le cas côté-côté-côté. En navigation et en robotique, c'est la cinématique inverse en miniature : connaissant la longueur de deux segments et la distance entre les extrémités, la loi des cosinus détermine l'angle d'articulation nécessaire pour atteindre une cible.
Formule et références
c² = a² + b² − 2ab·cos C ; cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) ; aire = ½ab·sin C
Loi des cosinus, généralisant Euclide, Éléments Livre II, Propositions 12 et 13.
Exemple de calcul
Deux haubans partent de l'ancrage d'un mât, mesurant 7 m et 9 m avec un angle de 52° entre eux. Quelle distance sépare les points d'ancrage ?
- a = 7, b = 9, C = 52°, cos(52°) = 0.6157.
- a² + b² = 49 + 81 = 130.
- Correction : 2 × 7 × 9 × 0.6157 = 77.58.
- c = √(130 − 77.58) = √52.42 = 7.24 m.
7.24 m entre les points d'ancrage, formant un triangle d'une aire de ½ × 7 × 9 × sin(52°) = 24.8 m².
Questions fréquentes
Puis-je l'utiliser si je ne connais que trois côtés ?
Oui. Réarrangée pour isoler le cosinus d'un angle, elle permet de déterminer les trois angles à partir des longueurs des trois côtés, ce que la loi des sinus ne peut faire seule.
Pourquoi la loi des cosinus n'est-elle jamais ambiguë ?
La fonction cosinus est bijective sur l'intervalle de 0° à 180°, de sorte que chaque valeur de cosinus correspond à exactement un angle dans la plage d'un triangle. Le sinus n'a pas cette propriété.
Que se passe-t-il si mon angle est exactement de 90° ?
Le cosinus est nul et la formule se réduit à Pythagore, fournissant la même hypoténuse que le calculateur de triangle rectangle.
La formule de l'aire est-elle indépendante du troisième côté ?
Oui. La moitié du produit de deux côtés multipliée par le sinus de l'angle compris ne nécessite rien de plus.