Comment utiliser cette calculatrice
- Saisissez le nombre de côtés : 3 pour un triangle, 6 pour un hexagone, et ainsi de suite.
- Saisissez la longueur d'un côté ; dans un polygone régulier, tous les côtés sont égaux.
- Consultez l'aire pour les quantités de matériaux.
- Utilisez l'apothème lorsque vous avez besoin de la distance du centre au bord, par exemple pour dimensionner une clé ou une douille.
- Utilisez l'angle intérieur lors du réglage des coupes d'onglet.
Méthode de calcul
Un polygone régulier se divise nettement en n triangles isocèles identiques se rejoignant au centre. Chacun a pour base la longueur du côté et pour hauteur l'apothème, c'est-à-dire la distance perpendiculaire du centre au milieu d'un côté. En les additionnant, l'aire est égale à la moitié du périmètre multipliée par l'apothème, ce qui constitue l'analogue pour les polygones de la formule de l'aire du cercle, et devient exactement cette formule lorsque n devient grand.
L'apothème découle directement de la trigonométrie. L'angle au centre de chaque triangle vaut 360/n degrés, sa moitié est donc 180/n, et le demi-côté divisé par l'apothème est la tangente de ce demi-angle. En réarrangeant, l'apothème est égal au côté divisé par deux fois la tangente de pi/n. Tout le reste, à savoir l'aire, le rayon circonscrit et les angles, découle de cette relation unique.
L'angle intérieur, (n − 2) × 180 / n, est la valeur dont les menuisiers et les métallurgistes ont réellement besoin. L'angle intérieur de 120° d'un hexagone signifie que chaque onglet est coupé à 30° par rapport à l'équerre ; celui de 135° d'un octogone correspond à des coupes de 22,5°. Une erreur de ne serait-ce qu'un demi-degré s'accumule sur l'ensemble du contour, c'est pourquoi le dernier joint d'un cadre polygonal découpé à la main est toujours celui qui refuse de fermer.
Formule et références
apothème = s / (2·tan(π/n)) ; A = (n·s·apothème)/2 ; angle intérieur = (n−2)·180/n
Relations classiques des polygones réguliers ; voir Coxeter, Introduction to Geometry, Chapitre 2.
Exemple de calcul
Un pavé hexagonal a des côtés de 200 mm. Quelle surface couvre chaque pavé et quel angle d'onglet permet de les assembler ?
- Apothème : 200 / (2 × tan(30°)) = 200 / 1,1547 = 173,2 mm.
- Périmètre : 6 × 200 = 1 200 mm.
- Aire : (1 200 × 173,2) / 2 = 103 920 mm² = 0,1039 m².
- Angle intérieur : (6 − 2) × 180 / 6 = 120°.
0,1039 m² par pavé, soit environ 9,6 pavés par mètre carré avant découpe, avec des angles intérieurs de 120°.
Questions fréquentes
Cela fonctionne-t-il pour les polygones irréguliers ?
Non. Les formes irrégulières nécessitent la formule de l'arpenteur (formule du lacet) appliquée aux coordonnées des sommets, ou une décomposition en triangles.
Quelle est la différence entre l'apothème et le rayon ?
L'apothème rejoint le milieu d'un côté ; le rayon du cercle circonscrit rejoint un sommet. Le rayon circonscrit est toujours le plus grand des deux.
Pourquoi un polygone se rapproche-t-il d'un cercle lorsque le nombre de côtés augmente ?
L'apothème converge vers le rayon et le périmètre vers la circonférence, de sorte que le demi-périmètre multiplié par l'apothème converge vers πr².
Comment régler une scie à onglet pour fabriquer un cadre polygonal ?
Réglez-la sur la moitié de l'angle extérieur, c'est-à-dire 180/n degrés. Pour un hexagone, cela correspond à 30°, et pour un octogone à 22,5°.