Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez le rayon du cercle.
- Entrez l'angle au centre du secteur en degrés.
- Lisez l'aire du secteur, la portion complète incluant le centre.
- Lisez l'aire du segment, uniquement la zone comprise entre la corde et l'arc.
- Utilisez la ligne des pourcentages pour comparer le secteur au cercle complet.
Méthode de calcul
Un secteur est une fraction de cercle, cette fraction étant égale à l'angle au centre divisé par un tour complet. Multiplier cette fraction par πr² donne l'aire du secteur ; en radians, cela se simplifie en un demi de r au carré fois l'angle. C'est le calcul sous-jacent à chaque diagramme circulaire, chaque zone d'arrosage en éventail et chaque champ de vision angulaire.
Le segment correspond à ce qui reste après avoir retiré le triangle formé par les deux rayons et la corde. Comme l'aire de ce triangle vaut la moitié de r au carré multipliée par le sinus de l'angle, l'aire du segment vaut la moitié de r au carré multipliée par l'angle moins son sinus. C'est la forme que prend un liquide dans un cylindre horizontal partiellement rempli, ce qui en fait la base du jaugeage et des tables de barémage.
C'est pour cette application aux réservoirs que la formule du segment prend tout son sens, et où l'intuition fait souvent défaut. Un cylindre horizontal rempli au quart de son diamètre n'est pas rempli au quart : il ne contient qu'environ 19.6 % de sa capacité, car le fond étroit du cercle contribue bien moins au volume que le milieu élargi. Quiconque évalue le stock d'une cuve horizontale par la hauteur sans barème adapté commettra de lourdes erreurs.
Formule et références
secteur = ½r²θ ; segment = ½r²(θ − sin θ), avec θ en radians
Formules du secteur et du segment circulaires ; méthode du segment utilisée selon les pratiques de barémage de réservoirs de l'API MPMS.
Exemple de calcul
Une cuve cylindrique horizontale de rayon 1.2 m est remplie jusqu'à une hauteur de 0.6 m. Quelle proportion contient-elle ?
- Une demi-hauteur signifie que la surface du liquide passe par le centre, donc la surface mouillée représente exactement la moitié du cercle.
- Aire du demi-cercle : π × 1.2² / 2 = 2.262 m².
- En revanche, une hauteur de 0.3 m donne un segment de 120° : ½ × 1.44 × (2.0944 − 0.8660) = 0.884 m².
- Cela représente 0.884 / 4.524 = 19.5 % de la section transversale, pour 25 % de la hauteur.
À mi-hauteur, la cuve est exactement à moitié pleine, mais au quart de la hauteur, elle n'est remplie qu'à 19.5 %. C'est cette non-linéarité qui rend les tables de barémage indispensables.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un secteur et un segment ?
Un secteur inclut le centre et les deux rayons, comme une part de pizza. Un segment ne désigne que la zone située au-delà de la corde, comme le bord de la croûte de cette part.
Comment obtenir l'aire du segment à partir d'une hauteur de remplissage ?
Convertissez d'abord la hauteur en angle au centre : θ = 2·arccos((r − h)/r), puis appliquez la formule du segment.
L'angle peut-il dépasser 180 degrés ?
Oui. Un secteur rentrant représente simplement le reste du cercle et la formule le prend en charge : le segment dépasse alors le demi-cercle.
Où la formule du segment intervient-elle ailleurs ?
Canalisations partiellement remplies en hydraulique de drainage, surface de chevauchement de deux cercles et formes de lentilles dans les calculs de surfaces de type Venn.