Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez le rayon du cercle.
- Entrez l'angle au centre en degrés.
- Lisez la longueur de l'arc, mesurée le long de la courbe.
- Lisez la longueur de la corde, le segment droit reliant les extrémités de l'arc.
- Utilisez la valeur en radians pour injecter l'angle dans d'autres formules.
Méthode de calcul
La longueur d'arc est remarquablement simple en radians : c'est simplement le rayon multiplié par l'angle. C'est concrètement la définition même du radian, l'angle pour lequel l'arc est égal au rayon. Travailler en degrés impose d'appliquer d'abord le facteur de conversion π/180, c'est pourquoi chaque formule d'arc exprimée en degrés comporte cette constante encombrante alors que la version en radians n'en a pas.
La corde est une mesure tout à fait différente : le segment rectiligne reliant les deux extrémités de l'arc, égal à deux fois le rayon multiplié par le sinus de la moitié de l'angle. La corde est toujours plus courte que l'arc, et l'écart se creuse à mesure que l'angle augmente. Pour les petits angles, elles sont presque identiques, approximation des petits angles à l'origine d'innombrables raccourcis en ingénierie. Mais à 180°, l'arc mesure πr tandis que la corde ne mesure que 2r, soit un écart de 57 %.
Les deux mesures comptent en fabrication. Le cintrage d'un profilé en acier nécessite la longueur d'arc pour couper la pièce, mais l'implantation des extrémités sur le sol d'un atelier requiert la corde. La conception du tracé routier et ferroviaire utilise les décalages de corde pour implanter les courbes au ruban, et les tables de raccordement routier reposent entièrement sur ces deux relations.
Formule et références
arc s = rθ (θ en radians) ; corde = 2r·sin(θ/2) ; θ_rad = θ_deg × π/180
Définition du radian et relations des arcs circulaires ; voir NIST DLMF §4.14 et géométrie standard des courbes routières.
Exemple de calcul
Une main courante courbe suit un rayon de 10 m sur 72°.
- Conversion : 72° × π/180 = 1.2566 radians.
- Longueur d'arc : 10 × 1.2566 = 12.57 m de rail à cintrer.
- Corde : 2 × 10 × sin(36°) = 20 × 0.5878 = 11.76 m.
- Différence : 0.81 m de matière en plus par rapport à la portée rectiligne.
12.57 m de profilé requis pour couvrir une corde de 11.76 m : commandez selon la longueur d'arc, implantez selon la corde.
Questions fréquentes
Comment déterminer le rayon à partir d'un arc et d'une corde ?
Il n'existe pas de formule explicite ; il faut procéder par itération sur la relation s = rθ avec corde = 2r·sin(θ/2). La résolution numérique est la voie pratique.
Quelle est la longueur d'arc d'un cercle complet ?
La circonférence complète, 2πr, correspondant à un angle au centre de 360°.
Pourquoi ma corde est-elle presque égale à l'arc ?
Les petits angles rendent le sinus quasiment linéaire, de sorte que l'arc et la corde convergent. En dessous d'environ 10°, l'écart est inférieur à 0.13 %.
Cela s'applique-t-il aux courbes non circulaires ?
Non. Les courbes paraboliques et les clothoïdes de raccordement font appel à leurs propres intégrales de longueur d'arc.