Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez la valeur du rapport que vous avez mesurée ou calculée.
- Pour arcsin et arccos, la valeur doit être comprise entre −1 et 1.
- Arctan accepte toute valeur réelle, y compris très grande.
- Lisez l'angle en degrés sur la ligne correspondante.
- Rappelez-vous que chaque fonction renvoie un angle principal unique ; d'autres solutions peuvent également convenir.
Méthode de calcul
Les fonctions trigonométriques inverses effectuent le calcul en sens inverse : à partir d'un rapport, elles déterminent l'angle qui le produit. Comme les fonctions classiques sont périodiques, leurs inverses doivent être restreintes à un intervalle principal pour être univoques. Arcsin renvoie entre −90° et 90°, arccos entre 0° et 180°, et arctan entre −90° et 90° exclus. Ces conventions sont universelles en mathématiques comme en informatique.
Cette restriction a des conséquences pratiques. Arcsin(0.5) renvoie 30°, mais 150° a également un sinus de 0.5, et dans un problème de physique, l'angle obtus peut être la réponse correcte. Chaque fois que vous inversez un sinus, vérifiez si l'angle supplémentaire est plausible avant de continuer. Arccos ne présente pas cette ambiguïté dans un triangle, c'est l'une des raisons pour lesquelles la loi des cosinus est privilégiée pour retrouver un angle.
Les limites de domaine sont strictes pour arcsin et arccos : aucun angle réel n'a un sinus ou un cosinus en dehors de ±1. Une valeur de 1.2 signale une erreur en amont, généralement un rapport formé avec le mauvais côté au dénominateur, par exemple en divisant par un côté adjacent au lieu de l'hypoténuse. En revanche, arctan est définie partout et approche asymptotiquement ±90°, ce qui explique pourquoi elle est toujours utilisée pour convertir une pente en angle.
Formule et références
θ = arcsin(x) ∈ [−90°, 90°] ; arccos(x) ∈ [0°, 180°] ; arctan(x) ∈ (−90°, 90°)
Conventions des valeurs principales pour les fonctions circulaires inverses ; voir NIST Digital Library of Mathematical Functions §4.23.
Exemple de calcul
Une rampe d'accès monte de 0.15 m sur une longueur horizontale de 1.80 m. Respecte-t-elle la pente maximale de 1:12 ?
- Pente : 0.15 / 1.80 = 0.0833.
- Angle : arctan(0.0833) = 4.76°.
- La limite de 1:12 correspond également à arctan(1/12) = 4.76°.
- La rampe se situe exactement à la limite, sans aucune tolérance pour les erreurs d'exécution.
4.76°. Précisément 1:12, la moindre imprécision de construction la rendrait donc non conforme. Visez 1:14 pour conserver une marge.
Questions fréquentes
Pourquoi arcsin et arccos rejettent-ils les valeurs supérieures à 1 ?
Le sinus et le cosinus sont les coordonnées d'un point sur un cercle unité et ne peuvent jamais dépasser son rayon. Un rapport supérieur à 1 signifie que la division des côtés a été inversée.
Qu'est-ce que atan2 et pourquoi les logiciels l'utilisent-ils ?
Elle prend les deux coordonnées séparément plutôt que leur rapport, ce qui lui permet d'identifier le bon quadrant sur l'ensemble des 360°. La fonction arctan simple ne peut pas distinguer un point de son opposé.
Arcsin est-elle identique à 1/sin ?
Non. Arcsin est la fonction réciproque ; 1/sin est la cosécante. La notation sin⁻¹ désigne la première, bien qu'elle ressemble visuellement à la seconde.
Comment obtenir l'autre angle valide ?
Pour le sinus, soustrayez le résultat de 180°. Pour le cosinus, prenez son opposé. Pour la tangente, ajoutez 180°.