Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez vos nombres séparés par des virgules ou des espaces.
- Lisez le plus grand commun diviseur.
- Consultez la ligne du PPCM lorsque vous avez besoin d'un dénominateur commun.
- Ajoutez autant de nombres que souhaité, la méthode s'adapte à des listes de toute longueur.
Méthode de calcul
L'algorithme d'Euclide trouve le PGCD sans aucune factorisation. Remplacez de manière répétée le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit ; dès que le reste devient nul, la dernière valeur non nulle correspond au PGCD. Vieille de plus de deux mille ans, cette méthode reste la plus rapide d'ordre général, s'exécutant en un temps proportionnel au nombre de chiffres plutôt qu'à la valeur brute des nombres.
Pour une liste, le PGCD se calcule deux à deux : pgcd(a, b, c) est égal à pgcd(pgcd(a, b), c). La même associativité s'applique au PPCM, qui se déduit du PGCD par l'identité ppcm(a, b) = |a·b| ÷ pgcd(a, b). Calculer de cette façon évite les dépassements de capacité qui surviendraient en multipliant d'abord l'ensemble d'une longue liste.
En pratique, le PGCD permet de réduire une fraction à sa forme irréductible, tandis que le PPCM permet de trouver un dénominateur commun ou l'intervalle au bout duquel deux plannings périodiques coïncident.
Formule et références
pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b) jusqu'à ce que b = 0 ; ppcm(a, b) = |a × b| / pgcd(a, b)
Algorithme d'Euclide, Éléments d'Euclide Livre VII ; relation fondamentale pgcd–ppcm.
Exemple de calcul
Couper des rubans de 48 cm, 180 cm et 84 cm en morceaux égaux sans aucune perte.
- pgcd(48, 180) : 180 mod 48 = 36 ; 48 mod 36 = 12 ; 36 mod 12 = 0 → 12.
- pgcd(12, 84) = 12.
- Morceaux : 48/12 + 180/12 + 84/12 = 4 + 15 + 7.
26 morceaux de 12 cm chacun, sans aucune chute.
Questions fréquentes
Le terme PGCD est-il synonyme de HCF ?
Oui. Plus grand commun diviseur, plus grand facteur commun ou HCF en anglais désignent exactement la même notion.
Quel est le PGCD de deux nombres premiers entre eux ?
1. Des nombres ne partageant aucun autre diviseur que 1 sont dits premiers entre eux.
La relation pgcd–ppcm s'applique-t-elle à trois nombres ?
Pas directement sous cette forme. Il faut l'appliquer deux à deux : ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c).
Pourquoi ne pas simplement lister tous les diviseurs ?
Cela fonctionne bien pour les petits nombres, mais devient très vite impraticable. L'algorithme d'Euclide traite instantanément de très grandes valeurs.