Comment utiliser cette calculatrice
- Mesurez ou calculez le rayon ; divisez le diamètre par deux si c'est la valeur dont vous disposez.
- Saisissez-le dans des unités cohérentes.
- Lisez le volume dans l'unité cubique correspondant à votre saisie.
- Lisez l'aire de surface pour vos travaux de revêtement, d'isolation ou de transfert thermique.
- Utilisez directement la ligne des litres si votre rayon a été saisi en centimètres.
Méthode de calcul
Archimède a établi les deux formules de la sphère il y a plus de deux mille ans, et il était si fier de ce résultat qu'il a fait graver sur sa tombe une sphère inscrite dans un cylindre. Le volume vaut quatre tiers de pi r cube et l'aire de surface vaut quatre pi r carré. Exactement quatre fois l'aire d'un grand cercle passant par la sphère, et exactement deux tiers de la surface totale du cylindre qui la contient.
Les deux formules n'évoluent pas à la même échelle, et cette différence régit une grande partie de la physique et de la biologie. Le volume croît avec le cube du rayon tandis que la surface ne croît qu'avec le carré, de sorte que le rapport surface/volume diminue à mesure que la taille augmente. Les grands animaux ont du mal à évacuer la chaleur, les grands réservoirs perdent proportionnellement moins d'énergie par leurs parois, et les petites gouttelettes s'évaporent bien plus vite que les grosses. Tout cela découle de ce simple écart d'exposants.
Comme le volume dépend du cube du rayon, l'erreur de mesure est multipliée par trois. Une erreur de 1 % sur le rayon se traduit par une erreur d'environ 3 % sur le volume. Pour les réservoirs et cuves, mesurez la circonférence avec un ruban et divisez par deux pi plutôt que d'estimer un diamètre sur une surface courbe : la mesure au ruban est bien plus reproductible.
Formule et références
V = (4/3)πr³ ; S = 4πr²
Archimède, De la sphère et du cylindre (vers 225 av. J.-C.) ; toujours la démonstration de référence.
Exemple de calcul
Une cuve sphérique de propane mesure 1,5 m de rayon. Quelle est sa capacité et quelle surface doit être peinte ?
- Volume : (4/3) × π × 1,5³ = (4/3) × π × 3,375 = 14,14 m³.
- En litres : 14,14 × 1000 = 14 137 L.
- Surface : 4 × π × 1,5² = 4 × π × 2,25 = 28,27 m².
- À 85 % de remplissage de sécurité : 14 137 × 0,85 = 12 016 L utilisables.
Capacité géométrique de 14,14 m³, environ 12 000 L utilisables avec une limite de remplissage à 85 %, pour 28,27 m² de surface à recouvrir.
Questions fréquentes
Comment trouver le rayon à partir d'une mesure de circonférence ?
Divisez la circonférence par 2π. Une mesure au mètre ruban de 9,42 m autour de l'équateur donne un rayon de 1,5 m.
Qu'en est-il d'une sphère partiellement remplie ?
Il faut utiliser la formule de la calotte sphérique, V = πh²(3r − h)/3, où h est la hauteur de liquide. Il ne s'agit pas d'une simple fraction proportionnelle du volume total.
Pourquoi l'aire de la surface correspond-elle exactement à quatre grands cercles ?
Cela découle de la projection cylindrique d'Archimède, qui applique la sphère sur son cylindre circonscrit en conservant exactement les aires.
Cela s'applique-t-il à une demi-sphère ?
Divisez le volume par deux, mais pour la surface, ajoutez la face circulaire plane : 2πr² pour la partie courbe plus πr² pour la base plane.