Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez le rayon de la base circulaire.
- Entrez la hauteur verticale de la base au sommet, et non la longueur de l'arête inclinée.
- Lisez le volume, qui est exactement un tiers de celui du cylindre circonscrit.
- Lisez l'aire de surface, qui additionne le cercle de base et la surface latérale courbe.
- Utilisez la ligne des litres si vous travaillez en centimètres.
Méthode de calcul
Un cône contient exactement un tiers du cylindre qui le contient, un résultat démontré par Archimède et confirmé plus tard par le calcul infinitésimal en intégrant des tranches circulaires de rayon décroissant. Cela donne un volume égal à pi r au carré h sur trois. La hauteur dans cette formule est strictement la hauteur perpendiculaire de la base au sommet ; l'arête inclinée est plus longue et son utilisation gonfle sensiblement le volume.
L'apothème se calcule par Pythagore à partir du rayon et de la hauteur verticale, et c'est ce dont la surface courbe a réellement besoin : l'aire latérale est égale à pi fois le rayon fois l'apothème. Déroulée à plat, cette surface courbe devient un secteur de disque dont le rayon est l'apothème, ce qui est précisément la façon dont les cônes en tôle et les entonnoirs en papier sont tracés et découpés.
La géométrie conique apparaît partout où des matériaux en vrac s'accumulent. Un tas de sable, de gravier ou de grain se stabilise en un cône dont les pentes forment l'angle de talus naturel du matériau, de sorte que mesurer la circonférence de la base et connaître cet angle suffit pour estimer le tonnage sans toucher au tas. La conception des trémies utilise les mêmes relations à l'envers, dimensionnant le cône pour que le matériau s'écoule plutôt que de former des voûtes.
Formule et références
V = (πr²h)/3 ; apothème l = √(r² + h²) ; S = πr(r + l)
Rapport d'Archimède entre le cône et le cylindre ; voir Euclide, Éléments Livre XII, Proposition 10.
Exemple de calcul
Un tas de gravier a une circonférence à la base de 25 m et une hauteur au sommet de 3,2 m.
- Rayon : 25 / (2π) = 3,98 m.
- Volume : π × 3,98² × 3,2 / 3 = π × 15,84 × 3,2 / 3 = 53,1 m³.
- Apothème : √(3,98² + 3,2²) = 5,11 m.
- À une masse volumique apparente de 1,6 t/m³ : 53,1 × 1,6 = 85 tonnes.
Environ 53 m³ de gravier, soit environ 85 tonnes pour une masse volumique apparente typique, ce qui est suffisamment précis pour un contrôle des stocks.
Questions fréquentes
Et si la pointe est coupée ?
Il s'agit d'un tronc de cône, de volume πh(R² + Rr + r²)/3 où R et r sont les deux rayons. Ce n'est pas simplement la différence entre deux volumes de cônes, à moins de connaître la hauteur du sommet manquant.
Pourquoi l'apothème est-il plus long que la hauteur verticale ?
C'est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par le rayon et la hauteur verticale, il est donc toujours supérieur aux deux.
Dois-je inclure la base dans la surface ?
Seulement si la base est une surface réelle. Un entonnoir ouvert ou un tas de stockage ne nécessite que l'aire latérale, πrl.
Puis-je estimer un tas de stockage sans y monter ?
Oui. Mesurez la circonférence de la base et utilisez l'angle de talus naturel du matériau pour déduire la hauteur, puisque tan(angle) est égal à la hauteur sur le rayon.