Comment utiliser cette calculatrice
- Entrez la valeur dont vous souhaitez connaître la magnitude.
- Entrez une seconde valeur pour mesurer la distance entre les deux.
- Lisez |x| et |x − y| côte à côte.
- Utilisez la ligne du signe lorsque l'orientation importe indépendamment de la grandeur.
Méthode de calcul
La valeur absolue représente la distance par rapport à zéro, ainsi |−42.5| et |42.5| valent tous deux 42.5. Formellement, elle est définie par morceaux : x si x ≥ 0, et −x si x < 0. La deuxième condition prête parfois à confusion car elle semble produire un résultat négatif ; ce n'est pas le cas, car inverser le signe d'un négatif donne un positif.
L'interprétation la plus utile est |x − y| comme la distance entre deux points sur la droite des réels, qui est symétrique : |3 − 7| et |7 − 3| valent tous deux 4. Il s'agit du cas unidimensionnel d'une métrique, qui se généralise avec la formule de la distance euclidienne dans les dimensions supérieures. C'est également la raison pour laquelle l'écart absolu apparaît en statistiques. L'écart absolu moyen calcule la moyenne des distances par rapport à la moyenne, traitant les dépassements vers le haut ou vers le bas avec la même importance.
Dans les inégalités, |x| < a signifie −a < x < a (un intervalle autour de zéro), tandis que |x| > a se sépare en deux régions distinctes. Faire une erreur sur cette séparation est la faute d'algèbre la plus courante impliquant les valeurs absolues.
Formule et références
|x| = x si x ≥ 0, sinon −x ; distance = |x − y| ; |x| < a ⟺ −a < x < a
Définition standard de la valeur absolue et de la métrique unidimensionnelle.
Exemple de calcul
Une pièce usinée doit se situer à 0.05 mm d'une cible de 12.00 mm ; la pièce mesurée fait 11.962 mm.
- Écart : |11.962 − 12.00| = 0.038 mm.
- Comparaison avec la tolérance : 0.038 < 0.05.
- Sens : cote sous-dimensionnée.
Dans la tolérance, mais avec un biais par défaut, ce qui mérite de vérifier le décalage d'outil avant la prochaine série.
Questions fréquentes
|−x| est-elle toujours positive ?
Non négative. Elle vaut zéro lorsque x est nul, et positive dans les autres cas.
Comment fonctionne la valeur absolue dans les inégalités ?
|x| < a devient un encadrement, −a < x < a. |x| > a se sépare en deux régions distinctes.
Pourquoi utiliser l'écart absolu plutôt que l'erreur quadratique ?
L'écart absolu est robuste face aux valeurs aberrantes ; l'erreur quadratique pénalise bien plus lourdement les écarts importants.
Cela s'applique-t-il aux nombres complexes ?
Oui. Il s'agit alors du module, la distance par rapport à l'origine dans le plan complexe.