Guide de révision en pré-algèbre

Les nombres relatifs se comportent de manière prévisible dès lors qu'on les visualise comme un déplacement sur une droite graduée. Ajouter un négatif fait reculer vers la gauche ; soustraire un négatif inverse ce mouvement et fait avancer vers la droite, raison pour laquelle deux signes moins donnent un plus.

Les signes de la multiplication suivent une règle de décompte : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair donne un résultat négatif. Cette règle reste strictement identique en algèbre, il est donc utile de la comprendre en profondeur plutôt que de la mémoriser au cas par cas.

Ces trois notations représentent une même quantité. Une fraction exprime le ratio exact, un nombre décimal le représente en base dix, et un pourcentage le met à l'échelle pour que le tout soit égal à 100. Passer de l'un à l'autre est un simple changement de forme, pas de valeur.

L'addition exige un dénominateur commun, car on ne peut additionner que des parts de même taille. La multiplication ne nécessite rien de tel, c'est pourquoi multiplier des fractions semble plus facile que de les additionner, et que les élèves qui inversent ces deux règles perdent systématiquement des points.

Un ratio compare deux quantités ; un taux est un ratio entre grandeurs d'unités différentes, comme les kilomètres par heure. Une proportion établit l'égalité entre deux ratios, et le produit en croix consiste simplement à multiplier les deux membres par les deux dénominateurs.

La plupart des problèmes concrets de pré-algèbre (recettes, cartes, prix unitaires, devises) sont des proportions déguisées. Écrivez les deux ratios avec des unités cohérentes de chaque côté avant d'effectuer le produit en croix, et les erreurs de mise en équation disparaîtront.

La priorité des opérations est une convention, pas une loi naturelle : elle sert à garantir qu'une expression n'ait qu'une seule interprétation. D'abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite.

Les puissances quantifient les multiplications répétées, leurs propriétés ne sont donc que de la tenue de compte. On additionne les exposants lors d'une multiplication, on les soustrait lors d'une division. Un exposant négatif désigne l'inverse, et un exposant nul vaut un, car diviser une puissance par elle-même donne nécessairement un.